Объяснение, что такое Фрактал, которые окружают нас везде, но мы их не видим

Фракталы известны уже век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. Однако в основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования

Что такое фрактал

Похожие формы распространены в микро- и макромире. Повторяющиеся узоры увидите в минералах, флоре и фауне, структуре ДНК, явлениях природы (циклонах, молниях, береговых линиях), системах планет и звезд. Что это такое?

Понятие и история изучения

Причины и закономерности в таком сходстве есть. Науке известен такой феномен, как фрактал:

• Термин «фрактал» с латыни переводится как ‘дробленый’ и означает самоподобие (копирование) геометрической фигуры, когда каждый из фрагментов структуры повторяется в меньшем масштабе.
• Фрактал — узор, который повторяет сам себя в разном масштабе — до бесконечно маленького или/и бесконечно крупного размера.
• Фрактальность прослежена как в явлениях живой и неживой природы, так и в социуме (семья, коллектив, общество). Так, фракталы в корпоративной культуре исследовали Э. Науразова и С. Шамилев.

Древние артефакты свидетельствуют о том, что знания о фракталах появились у человечества давно. Изображение таких структур украшают керамику трипольской культуры (с 5450 по 2700 гг. до н. э.), встречаются в схемах построения селений, архитектурных проектах. Поиски математических закономерностей миропорядка издревле интересовали людей.

Например, выдающийся зодчий Древнего Египта Имхотеп стал создателем первой в стране ступенчатой пирамиды. У этого грандиозного фрактального сооружения были очень четкие математические пропорции.

Когда в Европе существовал орден тамплиеров, в архитектуре царил готический стиль. Он воплощал сакральную геометрию и фрактальные узоры в камне.

Новый виток развития изучение фракталов получило в конце ХIX – начале ХХ века:

• Математическая база для разработки теории была создана такими учеными, как Пьер Фату, Жюль Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф, Гастон Жюлиа.
• Вычислительные устройства, которые появились в то время, ускорили процесс итерации (многократно повторяющиеся вычисления) и визуализировали формулы.
• Имеющиеся математические наработки с помощью компьютера первым визуализировал Бенуа Мандельброт около 1977 года. Ему удалось получить удивительные изображения, геометрия которых отразила теорию фракталов.

Виды

На современном этапе известны такие виды фракталов:

• Геометрические. Они очень наглядные и простые в строении. Их просто заметить и можно рисовать на обычных листах бумаги в клетку. К этой группе относятся: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.

• Алгебраические. Большая группа фракталов, основанная на разных алгебраических формулах (фрактал Мандельброта). Сейчас их отображают в цвете и получают красивейшие необычные орнаменты, которые применяют в дизайне одежды.
• Стохастические. В основе их построения лежит хаотическое изменение некоторых параметров с получением объектов, похожих на природные. В киноиндустрии такая компьютерная графика создает искусственные горы, облака, моря, планеты, береговые линии, деревья. В природе к этой группе относится молния, северное сияние, пламя.
• Концептуальные (социокультурные). Этот вид представлен непространственными структурами, которые выходят за рамки геометрии. Многие культурные произведения и художественные тексты (детские стихи, народные песни, сказки) часто содержат рассказ в рассказе.

Фрактальность наблюдают:

• в организации поселений людей (страна — город — квартал);
• в том, как общество распределяется на группы (народ — социокультурная группа — семья — человек).

Выделяют фрактальность во взаимоотношениях, которая начинается с самого человека. Вслед за его изменениями меняется восприятие, внутреннее состояние, что отражается на взаимоотношениях в семье, коллективе, в обществе. Фрактальности подчиняются иерархические системы управления.

Фракталы в природе

Фрактал является геометрическим объектом, которому свойственно самоподобие. Каждая из частей в его составе подобна всему объекту. Но, как ни парадоксально, эти объекты широко распространены в природе – вокруг нас. Окружающий нас мир буквально соткан из самоповторяющихся фигур самого разного масштаба — человеку свойственно их не замечать.

Фракталы в капусте

Давайте пробежимся по примерам, чтобы убедиться в этом. Если внимательнее посмотреть на лист папоротника, то можно увидеть, как маленький листочек копирует форму всей ветки. Взять в пример можно и любое дерево: отдельная ветвь повторяет форму дерева в целом.

Нельзя не упомянуть о ярком фрактальном представителе, как цветная капуста. Вы замечали, что при нарезке ее цветочков, на доске остается ее уменьшенная копия? Это и есть яркое проявление фрактальной геометрии в природе. Ярко прослеживается она в известных нам природных объектах и созданиях:

• береговые линии;
• цветы;
• споры плесени;
• раковины улиток;
• песчаные барханы;
• пятна на Юпитере;
• снежинки;
• кораллы и многое другое.

В животном мире тоже они есть – фракталы можно увидеть на хвосте павлина или на кровеносных, альвеолярных системах животных и человека. Если вспомнить узор паутины, то тоже можно увидеть фрактальные фигуры. Многие микроорганизмы, при рассмотрении под микроскопом могут показать нам их.

Фракталы в искусстве

Фракталы в искусстве

Во многих произведениях искусства современников 19—20 века прослеживаются фрактальные мотивы. Рассмотрев с большей внимательностью одну из абстрактных картин Ф.Купки (1871—1957) можно испытать удивление. Как объяснить этот феномен? Фракталы были открыты в 70-х годах ХХ века – после кончины художника. У него было особое видение мира – он умел различать в нем фракталы, он не пытался их изучить и объяснить, а просто выносил их на свои полотна.

Сейчас можно смело провести параллель между абстрактным творчеством и фрактализмом. Одни художники ярко выражают в своих полотнах фрактальные фигуры, у других же это завуалировано и прослеживается очень тонко. Ещё с древних времен наука и искусство шли параллельными путями. К примеру, после изобретения первого телескопа люди впервые увидели планеты и другие небесные тела. Они стали выносить эти космические образы на фрески, скульптуры, полотна и т.д.

В эпоху бурного развития геометрии как науки, в картинах многих художников можно увидеть круговые абстракции очень уж напоминающие фракталы. Особенно это прослеживается в работах художников начала 20 века. Картина Робера Делоне с темой пересекающихся колец и кругов, вышеупомянутого Франтишека Купки и его диски Ньютона, В.Кандинского, К.Малевича и других известных пионеров абстракционизма.

Современное графическое искусство

Современные мультфильмы и компьютерные игры создаются инструментами, работа которых основана на фрактальных алгоритмах. Облака, море, горы, деревья и цветы создаются именно ими. Эти инструменты позволяют не прорисовывать каждую часть графического рисунка, а задавать им начальные параметры – остальные действия по созданию рисунка выполняет компьютер. Графику можно видоизменять на свое усмотрение путем внесения изменений в начальные параметры ее алгоритма.

Есть еще одно направление современного искусства  это фрактал-арт. Его заслуженно называют перспективным и быстроразвивающимся направлением. Это и понятно, ведь основная масса художников перебралась на просторы сети, и использует дары информационного прогресса для своего творчества. На сегодняшний день разработчиками создано множество программ для 2D  и 3D фрактального рисования: Apophysis7X, Apophysis3D, Ultra Fractal и другие.

Геометрические фракталы

Фракталы в математике

Основателем фронтальной математики является Бенуа Мандельброт – французский исследователь фронтальной геометрии и математик. Применяются они не только в математике – фрактальные системы встречаются:

• в физике;
• кибернетике;
• нефтехимии;
• географии;
• биологии;
• астрономии и других науках.

Структурная единица фрактала – это не что иное, как геометрическая фигура, выраженная в определенном количестве повторений. С помощью фракталов можно увидеть математику совсем под другим углом. Она открывается с совершенно другой, в большинстве смыслов, прекрасной стороны. Да, это действительно фантастика – преобразование стандартного математического расчета в неповторимую, уникальную форму!

Множество объектов, каких-то 50—100 лет назад, было невозможно измерить с точностью самой малой единицы измерения. Например, береговые линии, представляющие собой природный фрактал. Фрактальная геометрия сломала древние, используемые и в наши дни, постулаты и представления о геометрической структуре мира. Теперь человеку доступно создание практически точных моделей природных объектов, их доскональное изучение и оценка факторов, воздействующих на их развитие и состояние.

Значение этого важного открытия не переоценить. Фрактальные системы есть буквально во всех сферах жизни человека, начиная с микромира, окружающего нас, заканчивая космическими объектами. Новое веяние радиоэлектроники – антенны фрактальной формы. Экономисты применяют фракталы для расшифровки колебаний кривых курсов валют. Этот список можно продолжать и продолжать.

Созданием фракталов может заниматься каждый. Это увлекательный, фантастический процесс результатом которого становится потрясающие изображения. Любая доступная графическая программа поможет создать уникальный фрактал, с единственной в своем роде формой и красотой.

Фракталы и их дизайн — неопознанные элементы науки

Сложные и простые фракталы представляют собой самоподобные фигуры, дизайн которых при уменьшении масштаба повторяется. Геометрия таких фигур «прячется» в сосудистой системе человека, альвеол животного. Присмотрись к извилинам морских берегов или контурам деревьев, облакам в небе или звездным галактикам — все это невероятное порождение хаотического движения мира или фракталы с их идеальной геометрией.

Только взгляни на русла рек, созвездия, структуру вирусов, ДНК или атомов!

Повторяющиеся самоподобные фигуры создают целые вселенные…

О примерах самоподобных множеств заговорили еще в XIX веке. Слово «фракталы» происходит от латинского fractus и переводится как дробный, ломаный. Его ввел математик Бенуа Мандельбротом в 1975 году, изучая сложные структуры, состоящие из частей, подобных целому. Мандельброт указал, что свойство самоподобия кардинально отличает эти фигуры от других объектов точной науки и трудно укладывается сознании. Совершенный дизайн фигур обладает рядом свойств:

• сложные, постоянно повторяющиеся структуры основной фигуры геометрии (круга, треугольника, квадрата)
• увеличение масштаба фигуры всегда приводит к усложнению его структуры
• принцип дизайна фигуры — самоподобие, приближенное самоподобие или рекурсия
• метрическая размеренность даже при дроблении фигуры значительно превосходит топологическую
• фигуры фракталы не имеют конечной площади в графическом изложении, напоминают матрицу.

Схожие фрактальные формы встречаются повсюду, от микро- до макромира

Ищи фракталы в минералах, флоре и фауне, природных явлениях

Фракталы в природе, науке, дизайне, it-сфере и даже философии — это яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития простых форм. Фракталы становятся причиной встречающихся нам закономерностей. О том, что человечество использовало такие фигуры много веков назад, ни история, ни архитектура, ни изобразительное искусство не умалчивают. Трипольская культура, Древний Египет, календарь Майя, восточные узоры мандалы — все это принадлежит к сакральной геометрии.

Мандала со своей фрактальной структурой излучает гармонию

Одежда с фрактальным кроем или принтами становится все более популярной

Фракталы — дизайн космической фигуры

Колоссальные фрактальные сооружения с четкими математическими пропорциями строились во времена Имхотепа, египетского фараона. Позже геометрию и дизайн фигуры перенял готический стиль Европы. Фракталы обладают математической основой, которую заложили ученые Пьер Фату, Жюль-Анри Пуанкаре, Георг Кантор, Феликс Хаусдорф и создатель фрактальной геометрии Мандельброт. Последнему даже удалось превратить собственное имя в бесконечные фракталы — Benoit B. Mandelbrot. Секрет — в расшифровке сокращения «B» (Benoit B).

1. Геометрия и фракталы. Бесконечные фигуры часто используются в дизайне, художественном искусстве, архитектуре. Снежинка Коха, Треугольник Серпинского, Кривая Леви, Дерево Пифагора и другие нашли применение в области фрактальных антенн для мобильных устройств. Фигуры компактного размера обладают широким диапазоном действий.
2. Алгебраические фракталы. Он базируется на математических формулах, например, Мандельброта. Фигуры строятся с помощью комплексной динамики.
3. Стохастические фракталы в природе. Эти фигуры создают методом хаотичного изменения параметров, применяют дизайне, художестве. Изображения получаются природными, абстрактными. Такие фигуры нашли популярность в кинематографе, компьютерной графике, нейрографике дизайне при создании эффекта «плазмы» природы: молний, пламени, северного сияния, береговой линии и даже ионосферы.
4. Концептуальные фракталы и их дизайн. А эти фигуры уже выходят за рамки геометрии. Многоуровневое самоподобие ищи в стихах, музыке, изобразительном искусстве. Сказка «Репка», где «бабка за дедку, внучка за бабку, а Жучка за внучку» — яркий тому пример. Внепространственные фракталы также применяются в разделении общества на группы, организации поселений, социокультурной сфере.

Фрактал — это бесконечная цепочка самопостроения

Первые изображения найдены на керамике Трипольской культуры (2700 год. до н. э.)

Гипнотические фигуры в природе и науке преображают хаос, создают матрицу. Они перестают быть синонимами беспорядка, обретая тонкую и четкую структуру. Фракталы выстраивают свой дизайн посредством простых алгоритмов. Математика, современные технологии, дизайн, экономика и другие сферы давно обратили внимание на подобные закономерности.

Фрактал упорядочивает хаос

Картины с изображением фракталов способствуют глубокой медитации

От общего к частному: из природы в архитектуру

Архитектура обожает прием совершенной геометрии. К примеру, индуистские храмы обладают схожими друг на друга структурами. В их дизайне некоторые части напоминают концепт в целом. Согласно индуистской космологии, центральная башня зачастую олицетворяет бога Шиву, а подобные меньшие — бесконечные повторы вселенной.

Не страшно разгадать глубинные секреты Вселенной?

Дизайн фракталов также имеет схема линий парижского метрополитена, индийская мандала, соборы и храмы и природные объекты. Дизайн повторяющихся фрагментов отражается в общем облике здания и отдельно взятых деталях фасада. Наиболее чаще они встречаются в западной и отечественной архитектурах: исторический музей в Москве, древние индийские и ацтекские ступенчатые храмы, многофункциональный комплекс Federation Square в Мельбурне, мексиканский бутик Liverpool Insurgentes и другие.

Фракталы прячутся в простых вещах: цветной капусте, суккулентах, кактусах

Их изучение развивает множество сфер: от астрономической, социальной до IT и точных наук

Фракталы в IT-сфере и литературе — что общего?

Фракталы и их геометрия незаметно перебралась в технологический мир. Из природы он в передовые 3D иллюстрации, компьютерную графику, децентрализованные сети. К примеру, компания Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для IP-адресов. Каждый новый узел состыковывается с общей сети без использования центрального сервера. Удобно же!

Ты удивишься, но молния, ионосфера, северное сияние и пламя — тоже фракталы

Легче всего такие фигуры описать художникам

Фракталы используются также в цифровой области. Теперь не нужно отдельно рисовать детали графических объектов. Фракталы и их алгоритмы задают первоначальные параметры, а остальную работу делает компьютерная система. Айтишники безустанно креативят с двух- и трехмерными геометрическими фигурами для создания объемных текстур.

Есть что-то магическое в любой фрактальной форме

Одни их замечают, другие проходят мимо

В настоящее время математические фракталы активно используются в нанотехнологиях, у трейдеров, экономистов. Они помогают анализировать курс фондовых бирж, торгового рынка. Область нефтехимии применяет фигуры фракталы для создания пористых материалов, а биологии — для развития популяций, генной инженерии. Люди зашли еще дальше, «скрестив» фрактальную геометрию с текстуальной, структурной и семантической природой.

Смотри, как каждый фрагмент точно дублируется в уменьшающемся масштабе!

Фракталы в природе: ботаника что-то скрывает

Фракталы и их геометрию всегда оберегала природа со своей богатой флорой и фауной. Удивительные и совершенные формы, фигуры создает природа до сих пор. Растения со свойствами подобия можно заметить в кронах деревьев, листьях папоротника, цветной капусте. А еще листья располагаются по спирали, создавая совершенный фрактал у алоэ Polyphylla, устремленных ввысь стебельков крассулы или «Храм будды». Подобные флоральные мотивы просто не могла обойти стороной восточная мода, стиль бохо и этно в коллекциях одежды на 2022 год.

Природа богата на фрактальные «сокровища»

Завораживающе на человека действуют усыпанный рубиновыми капельками росолист Lusitanicum, подсолнечник, георгин, листья амазонской кувшинки. Простые фракталы в природе замечай в краснокочанной капусте, когда готовишь вегетарианские салаты, ищешь суккуленты для свадебного букета. Простые фракталы природы — это и элементы рельефа, и поверхность водоемов. Не забудь про «геометрическую» природу морей и океанов: кораллы, морские звезды и ежи.

Индустрия моды увлеклась темой фракталов

Но мы помним, у кого «козыря» в кармане. Конечно, у природы!

Человек с пространственным воображением

Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы. Просматривая результаты измерений, он обратил внимание на странную закономерность, а именно: графики шумов выглядели одинаково в разном масштабе времени.

Аналогичная картина наблюдалась как для периода в один день, так и для семи дней или для часа. Сам Бенуа Мандельброт часто повторял, что он работает не с формулами, а играет с картинками. Этот ученый отличался образным мышлением, любую алгебраическую задачу он переводил в геометрическую область, где правильный ответ очевиден. Так что неудивительно, что такой человек, отличающийся богатым пространственным мышлением, и стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание данной фигуры может прийти только тогда, когда изучаешь рисунки и вдумываешься в смысл этих странных завихрений, образующих узор. Фрактальные рисунки не имеют идентичных элементов, однако обладают подобностью при любом масштабе

Жюлиа – Мандельброт

Одним из первых рисунков этой фигуры была графическая интерпретация множества, которая родилась благодаря работам Гастона Жюлиа и была доработана Мандельбротом. Гастон пытался представить, как выглядит множество, построенное на базе простой формулы, которая проитерирована циклом обратной связи. Попробуем сказанное объяснить человеческим языком, так сказать, на пальцах. Для конкретного числового значения с помощью формулы находим новое значение. Подставляем его в формулу и находим следующее. В результате получается большая числовая последовательность. Для представления такого множества требуется проделать эту операцию огромное количество раз: сотни, тысячи, миллионы. Это и проделал Бенуа. Он обработал последовательность и перенес результаты в графическую форму. Впоследствии он раскрасил полученную фигуру (каждый цвет соответствует определенному числу итераций). Данное графическое изображение получило имя «фрактал Мандельброта».

Л. Карпентер: искусство, созданное природой

Теория фракталов довольно быстро нашла практическое применение. Так как она весьма тесно связана с визуализацией самоподобных образов, то первыми, кто взял на вооружение принципы и алгоритмы построения этих необычных форм, стали художники. Первым из них стал будущий основатель студии Pixar Лорен Карпентер. Работая над презентацией прототипов самолетов, ему в голову пришла идея в качестве фона использовать изображение гор. Сегодня с такой задачей сможет справиться практически каждый пользователь компьютера, а в семидесятых годах прошлого века ЭВМ были не в состоянии выполнять такие процессы, ведь графических редакторов и приложений для трехмерной графики на тот момент еще не было. И вот Лорену попалась книга Мандельброта «Фракталы: форма, случайность и размерность». В ней Бенуа приводил множество примеров, показывая, что существуют фракталы в природе (фыва), он описывал их разнообразную форму и доказывал, что они легко описываются математическими выражениями. Данную аналогию математик приводил в качестве аргумента полезности разрабатываемой им теории в ответ на шквал критики от своих коллег. Они утверждали, что фрактал — это всего лишь красивая картинка, не имеющая никакой ценности, являющаяся побочным результатом работы электронных машин. Карпентер решил опробовать этот метод на практике. Внимательно изучив книгу, будущий аниматор стал искать способ реализации фрактальной геометрии в компьютерной графике. Ему понадобилось всего три дня, чтобы визуализировать вполне реалистичное изображение горного ландшафта на своем компьютере. И сегодня этот принцип широко используется. Как оказалось, создание фракталов не занимает много времени и сил.

Решение Карпентера

Принцип, использованный Лореном, оказался прост. Он состоит в том, чтобы разделить более крупные геометрические фигуры на мелкие элементы, а те — на аналогичные меньшего размера, и так далее. Карпентер, используя крупные треугольники, дробил их на 4 мелких, и так далее, до тех пор, пока у него не получился реалистичный горный пейзаж. Таким образом, он стал первым художником, который применил фрактальный алгоритм в компьютерной графике для построения требуемого изображения. Сегодня этот принцип используется для имитации различных реалистичных природных форм.

Первая 3D-визуализация на фрактальном алгоритме

Уже через несколько лет Лорен применил свои наработки в масштабном проекте – анимационном ролике Vol Libre, показанном на Siggraph в 1980 году. Это видео потрясло многих, и его создатель был приглашен работать в Lucasfilm. Здесь аниматор смог реализоваться в полной мере, он создал трехмерные ландшафты (целую планету) для полнометражного фильма «Star Trek». Любая современная программа («Фракталы») или приложение для создания трехмерной графики (Terragen, Vue, Bryce) использует все тот же алгоритм для моделирования текстур и поверхностей.

Том Беддард

В прошлом лазерный физик, а ныне цифровых дел мастер и художник , Беддард создал ряд весьма интригующих геометрических фигур, которые назвал фракталы Фаберже. Внешне они напоминают декоративные яйца русского ювелира, на них такой же блестящий замысловатый узор. Беддард использовал шаблонный метод для создания своих цифровых визуализаций моделей. Полученные изделия поражают своей красотой. Хоть многие отказываются сравнивать продукт ручной работы с компьютерной программой, однако следует признать, что полученные формы необычайно красивы. Изюминка заключается в том, что построить такой фрактал сможет любой желающий, воспользовавшись программной библиотекой WebGL. Она позволяет исследовать в реальном времени различные фрактальные структуры.

Красота Повтора. Фрактальность Реальности

Фракталы — не просто красивое природное явление. А вы знаете, что при созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Рассматривание фракталов оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Всем нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке…

Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз тоже фрактален. При совпадении траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Фракталы выходят за рамки чистой математики. Они могут дать гораздо больше: например, объяснить явления, находящиеся вне нашего понимания при текущем развитии науки.

Вся фрактальная космология строится на теории бесконечности пространства Вселенной и распределении в нем астрономических объектов по принципу фрактальной размерности.

Фрактальность является одним из самых важных принципов Мироздания, в котором процессы повторяются на различных уровнях.

Для примера рассмотрим хорошо нам знакомую, но мало понятую систему — планету Земля. У неё, как и у человека, тоже есть кровь – вода, есть легкие – деревья, и есть вены – реки. Роль её печени играют камни и песок, через который фильтруются загрязнения и круговорот воды в природе, который отделяет молекулы воды от микро мусора.

Сама же Земля является носителем огромного количества маленьких открытых систем — растения, животные, насекомые, земноводные, человек. И эти системы постоянно взаимодействуют друг с другом.

Человеческое сообщество также организовано в системы – семьи, роды, нации. Эти системы управляются сверх-системами — различными эгрегориальными структурами.

Все вместе эти системы образуют уровни нашей цивилизации, на каждом из которых есть свои правила и механизмы взаимодействия.